Переместительный и сочетательный закон умножения

Переместительный и сочетательный закон умножения

Свойства умножения чисел с примерами


В данной публикации мы рассмотрим 4 основных свойства умножения натуральных чисел, сопроводив их примерами для лучшего понимания теоретического материала. От перестановки мест сомножителей их произведение не меняется. a ⋅ b = b ⋅ a Примеры:

  • 5 ⋅ 8 = 8 ⋅ 5
  • 14 ⋅ 29 = 29 ⋅ 14

Примечание: количество сомножителей может быть любым.

Например, вот произведение трех чисел: 26 ⋅ 101 ⋅ 7 = 26 ⋅ 7 ⋅ 101 = 101 ⋅ 26 ⋅ 7 = 101 ⋅ 7 ⋅ 26 = 7 ⋅ 26 ⋅ 101 = 7 ⋅ 101 ⋅ 26 Результат умножения одного числа на произведение других (например, второго и третьего) равен произведению первого и второго числа, умноженному на третье. a ⋅ (b ⋅ с) = (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c Т.е.

соседние (и не только) сомножители (их может быть любое количество) можно заменять их произведением.

a ⋅ b ⋅ с ⋅ d = (a ⋅ b) ⋅ (c ⋅ d) = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ c) ⋅ (b ⋅ d) Примеры:

  • 25 ⋅ 4 ⋅ 10 = (25 ⋅ 4) ⋅ 10 = 25 ⋅ (4 ⋅ 10)
  • 50 ⋅ 2 ⋅ 30 ⋅ 5 = (50 ⋅ 2) ⋅ (30 ⋅ 5)
  • 20 ⋅ 6 ⋅ 15 ⋅ 4 ⋅ 11 = (20 ⋅ 4) ⋅ (6 ⋅ 15) ⋅ 11

Умножение на сумму чисел Для умножения числа на сумму требуется это число отдельно умножить на каждое слагаемое, затем полученные результаты сложить. a ⋅ (b + с) = a ⋅ b + a ⋅ c Сомножители можно поменять местами (согласно переместительному свойству, рассмотренному выше): (b + с) ⋅ a = a ⋅ b + a ⋅ c Примеры:

  • 54 ⋅ (13 + 17) = 54 ⋅ 13 + 54 ⋅ 17
  • 16 ⋅ (4 + 22 + 78) = 16 ⋅ 4 + 16 ⋅ 22 + 16 ⋅ 78

Умножение на разность чисел Чтобы число умножить на разность, нужно его отдельно умножить на уменьшаемое и вычитаемое, затем из первого результата вычесть второе. a ⋅ (b – с) = a ⋅ b – a ⋅ c Меняем сомножители местами и получаем: (b – с) ⋅ a = a ⋅ b – a ⋅ c Примеры:

  • 9 ⋅ (18 – 5) = 9 ⋅ 18 – 9 ⋅ 5
  • (63 – 48 – 20) ⋅ 3 = 63 ⋅ 3 – 48 ⋅ 3 – 20 ⋅ 3

Если число (произведение чисел) умножить на ноль, в результате получится ноль.

a ⋅ 0 = 0 Примеры:

  • 12 ⋅ 0 = 0
  • 24 ⋅ 36 ⋅ 51 ⋅ 0 = 0

Урок математики в 4-м классе по теме «Переместительный и сочетательный законы умножения»

— Самостоятельно выполните умножение выражения 25 × 7 × 4 × 11 удобным способом.

— Сейчас вы будете работать в парах. Как вы работаете в парах? (На равных). — Статья 1 Декларации гласит, что все люди рождаются свободными и равными в своём достоинстве и правах. Они наделены разумом и должны поступать в отношении друг друга в духе братства. — Как вы понимаете данную статью. Ответы детей. — Задание: составьте и запишите два произведения, в которых те же законы умножения помогут легко найти результат и выполнить вычисления удобным способом.
Ответы детей. — Задание: составьте и запишите два произведения, в которых те же законы умножения помогут легко найти результат и выполнить вычисления удобным способом.

Проверка. — Статья 24 гласит, что каждый человек имеет право на отдых и досуг. IV. Физкульт. минутка На доске примеры.

Задание: чей ряд быстрее решит (выходят по два человека). 1 ряд 2 ряд 3 ряд 25 • 5 • 4 2 • 36 • 5 5 • 67 • 2 2 • 87 • 5 4 • 56 • 25 2 • 98 • 5 5 • 68 • 2 5 • 76 • 2 25 • 50 • 2 • 4 40 • 2 • 6 • 5 25 • 50 • 2 • 4 5•78 • 2 • 2 25 • 50 • 2 • 4 25 • 67 • 4 • 10 25• 45 • 4 V. Закрепление пройденного материала 1.

Решение уравнений. — Перед вами лист, посмотрите на задание. Что вы можете сказать? (Уравнения: простое и сложное). К × 5 = 7215 С : 6 + 2000 = 250 •20 • 4 — Статья 23 гласит, что каждый человек имеет право на труд, на свободный выбор работы… Вам предоставляется выбор: решить простое или сложное уравнение.

Сделайте свой выбор и приступайте к выполнению. Проверка. 2. Решение задачи. — Статья 18 гласит, что каждый человек имеет право на свободу мысли, совести и религии.

(Оглашаются данные: сколько человек каждой национальности учится в школе).

— В Астрахани проживает примерно: русских – 360936 человек, казахов – на 295767 человек меньше, чем русских, татар – на 30078 человек меньше, чем казахов, людей других национальностей – на 5013 человек больше, чем татар.

— Статья 20 гласит, что каждый человек имеет право на свободу мирных собраний и ассоциаций. Вы работаете в группах. — Задание: сформулируйте всевозможные вопросы к условию задачи, используя все данные. Проверка.

Законы арифметических действий

Нам известны следующие законы сложения и умножения:1.

от перемены мест слагаемых сумма не меняется:5 + 4 = 4 + 5 = 9.

Это переместительный закон сложения.2. Значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые, т.

е. чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое:6 + (4 + 5) = (6 + 4) + 5 = 15.Это сочетательный закон сложения.3. От перемены мест множителей произведение не меняется:7 ⋅ 4 = 4 ⋅ 7 = 28.Это переместительный закон умножения.4. Значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители, т.

е., чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.(3 ⋅ 4) ⋅ 5 = 3 ⋅ (4 ⋅ 5) = 60.Это сочетательный закон умножения.5. Чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения:(20 + 6) ⋅ 2 = 20 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = 40 + 12 = 52.Это распределительный закон умножения относительно сложения. Применяя законы сложения и умножения, можно упростить вычисления: 48 + 79 + 52 = (48 + 52) + 79 = 100 + 79 = 179, 4 ⋅ 76 ⋅ 25 = 76 ⋅ (4 ⋅ 25) = 76 ⋅ 100 = 7600.В этих примерах использовался сочетательный закон сложения и умножения.Пример #1.

Вычисли, меняя множители местами и объединяя их в группы:2 ⋅ 9 ⋅ 5 = Выполни умножение 44 ⋅ 2 постепенно.Вычисли устно: 67 + 21 + 33.Данное равенство: 9 ⋅ 5 = 48 — верно или ошибочно?Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним, определяя значение выражения ((27 − 0) ⋅ 14 + 79) : 2?Сумма чисел 3338 + 2744 ближе всего к числу:В автобусе 25 мест(-а). Какое наименьшее число автобусов необходимо, чтобы 182 чел. увезти в аэропорт?В конце рабочего дня 7 гномов (A, B, C, D, E, F и G) в алфавитном порядке собрались у лифта, чтобы подняться на поверхность земли.К сожалению, одновременно все гномы не могут подняться на лифте, т.

к. за раз лифт может поднять груз не больше, чем 475 кг.

Некоторые гномы не знают свой вес, однако известен общий вес некоторых гномов. A + G = 356 кг, B + F = 408 кг, C + D + E = 464 кг.

Математика. 5 класс

Перемножим 5 на 3, получим 15.

При перемножении 3 на 5 опять получаем 15.5 ∙ 3 = 3 ∙ 5 = 15Вы уже знаете, что результат умножения нескольких множителей не зависит от порядка выполнения умножения.

Например, чтобы найти произведение чисел 10, 2 и 15, можно сначала перемножить числа 10 и 2, а затем их произведение умножить на число 15. Но удобнее сначала перемножить числа 2 и 15, а затем на их произведение умножить число 10. Порядок умножения чисел указывают при помощи скобок. Для рассматриваемого примера получим: (10 ∙ 2) ∙ 15 = 10 ∙ (2 ∙ 15).Такое свойство справедливо для любых чисел а, b и с.

Для рассматриваемого примера получим: (10 ∙ 2) ∙ 15 = 10 ∙ (2 ∙ 15).Такое свойство справедливо для любых чисел а, b и с. Это – сочетательный закон умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего: (а b) с = а (b с)Опираясь на переместительный и сочетательный законы, можно применять и такой способ группировки множителей: второе число умножить на произведение первого и третьего. Например, для нахождения произведения чисел 10, 2 и 15, кроме уже рассмотренных способов, существует третий способ: (10 15) 2.Переместительный и сочетательный законы умножения справедливы для любого количества множителей.

Применяя эти законы, можно значительно упростить вычисления.

Например, найдём произведение.1) 4 37 25 = (4 25) 37 = 100 37 = 3 700;2) (25 5) (4 20) = (25 4) (5 20) = 100 100 = 10 000.С помощью умножения решают задачи, в которых требуется найти число, большее данного в несколько раз. Решения таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них, а можно использовать более короткую запись – после действия пояснить, что найдено этим действием.Задача.

Мальчик купил две игрушечные машинки. Первая стоила 120 рублей, а вторая – в 4 раза больше. Сколько денег он истратил на обе машинки?Решение:

  • 120 ∙ 4 = 480 (руб.) – мальчик истратил на вторую машинку;
  • 120 + 480 = 600 (руб.) – мальчик истратил на обе машинки.

Ответ: 600 рублей мальчик истратил на обе машинки.Разбор решения заданий тренировочного модуля№ 1.

Законы умножения

Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями. Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство: a · b = b · a, выражающее переместительный закон умножения: От перестановки сомножителей произведение не меняется. Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением: 3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24, 3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24.

Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство: a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c), выражающее сочетательный закон умножения: Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением. Для любых натуральных чисел верны равенства: m · (a + b + .) = m · a + m · b + .

Для любых натуральных чисел верны равенства: m · (a + b + .) = m · a + m · b + . (a + b + .) · m = a · m + b · m + . , выражающие распределительный закон умножения: Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке: Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек.

В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.

Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных — 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4. Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства: m · (a — b — .) = m · a — m · b — .

(a — b — .) · m = a · m — b · m — . Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2. Переход от умножения: m · (a + b + .) и m · (a — b — .) соответственно к сложению и вычитанию: m · a + m · b + .

и m · a — m · b — . называется раскрытием скобок. Переход от сложения и вычитания: m · a + m · b + .

и m · a — m · b — . к умножению: m · (a + b + .) и m · (a — b — .) называется вынесением общего множителя за скобки.

ТОП — 3 замечательных законов математики над действиями чисел (Изучаем на практике)

Добрый день, уважаемые коллеги, читатели, ученики и их родители!

В этой статье мы с вами поговорим о том, как можно на практике изучать законы действий над числами. Для этого нам понадобится следующий инструментарий: цветная бумага, ножницы, пластилин, клей, альбомные листы.

(инструментарий представлен на рисунке ниже).Личное фото — Инструментарий для законовИтак, начнем изучать наши законы для чисел.Подготовительный этап (этап 1).

Для начала я предлагаю нашему ребёнку или ученику взять пластилин, и налепить шарики (смотрите рисунок ниже). Пластилиновых шариков должно быть одинаковое количество разного цвета. Не забывайте помогать вашему ученику или ребёнку.

(На нижней картинке даны шарики, но мы еще будем лепить).Личное фото — Пластилиновые шарики(Закон 1)Достаем альбомную бумагу — она нам пригодится для дальнейших наших примеров. Для начала предлагаю вам рассмотреть самый первый закон, а именно — Переместительный закон сложения.Для этого подсчитываем количество зелёных и фиолетовых шариков. Так как значение суммы при перестановки не изменяется, то эту же перестановку отобразим такими же цветными пластилиновыми шариками.

Действия отобразим при помощи цветной бумаги (смотрите рисунок ниже). Не забываем подписывать наше количество шариков в цифрах. Таким образом дети сами изучили данный закон сложения.Личное фото — Переместительный закон сложения на практике(Закон 2).Следующим этапом изучим другой закон математики — Сочетательный закон сложения.

Значение суммы не зависит от того, как мы группируем наши слагаемые.

Итак, берем наши пластилиновые шарики и показываем наш сочетательный закон сложения. Не забываем для нашего задания вырезать скобки из цветной бумаги.Личное фото — Сочетательный закон сложенияКак мы с вами видим из фотографии, сочетательный закон позволяет менять числа и шарики местами, как это получилось у нас (12+8)+7=(7+8)+12.
Не забываем для нашего задания вырезать скобки из цветной бумаги.Личное фото — Сочетательный закон сложенияКак мы с вами видим из фотографии, сочетательный закон позволяет менять числа и шарики местами, как это получилось у нас (12+8)+7=(7+8)+12.

По такому же принципу переместительные и сочетательные законы работают с умножением. Переместительный закон. 7*8=8*7 — попробуйте самостоятельно с ребёнком (учеником) слепить разное количество шариков из пластилина.Сочетательный закон.

(9*3)*5=9*(3*5) — также попробуйте самостоятельно с ребёнком слепить шарики и написать цифры. Закрепляем с ребёнком (учеником) 1) Переместительный закон

  • 5*6=
  • 3*5=
  • 4*3=
  • 6+8=

2) Сочетательный закон

  • (5+6)+7=
  • (3*5)*4=
  • (5+3)+2=

(Закон 3). Распределительный закон умножения.Для того чтобы умножить сумму на число, надо умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить значения произведений.

Выглядит это так:(5+3)*4=5*4+3*4Тоже самое касается и относительного вычитания:(12-8)*8=12*9-8*9Для распределительного закона попробуйте самостоятельно слепить также шарики — можно также нарисовать эти шарики акварельными красками вместе с учениками или детьми.

Умножение натуральных чисел: свойства, примеры

Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел. Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения: a·b+c=a·b+a·c a, b, c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство.

Вычислим значение выражения 4·3+2. 4·3+2=4·3+4·2=12+8=20 С другой стороны 4·3+2=4·5=20.

Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно. Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание Распределительное свойство умножения относительно вычитания Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции. Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения: a·b-c=a·b-a·c a, b, c — любые натуральные числа. В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем: 4·3-2=4·3-4·2=12-8=4 С другой стороны 4·3-2=4·1=4.

Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно. Умножение единицы на натуральное число Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

1·a=a По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз. 1·a=∑i=1a1 Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a.

Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым: 1·a=a·1=a Умножение нуля на натуральное число Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Математика. 6 класс

Математика6 классУрок № 43Законы сложения и умноженияПеречень рассматриваемых вопросов:

  • законы сложения рациональных чисел;
  • законы умножения рациональных чисел.

ТезаурусНатуральные числа – числа, которые используют при подсчёте предметов.Целые числа – натуральные числа, ноль и числа противоположные натуральным.Рациональные числа – целые числа, положительные и отрицательные дроби.Обязательная литература:

  1. Никольский С. М. . Учебник для общеобразовательных учреждений // С.

    М. Никольский, М. К. Потапов, Н.

    Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П.

    В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.

    Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл.

    // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изученияМы уже изучали законы сложения и умножения целых чисел. Они будут справедливы и для рациональных чисел.

На этом уроке мы рассмотрим законы сложения и умножения рациональных чисел.Каждый закон имеет своё название, свою математическую запись, свою формулировку.Переместительный закон сложенияОт перестановки мест слагаемых сумма не меняется.Сочетательный закон сложенияЧтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.Распределительный законЧтобы число умножить на сумму двух других чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и результат сложить. Переместительный закон умноженияОт перестановки множителей произведение не меняется.Сочетательный закон умноженияЧтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Докажем сочетательный закон сложения.ДоказательствоИз законов арифметических действий следует, что все правила вычислений, сформулированные нами для целых чисел, будут выполняться и для рациональных чисел (правила раскрытия скобок и заключения в скобки, правила определения знака произведения и частного и т.

п.).Применение законов сложения и умножения позволяет упрощать выражения.Вычислим значение выраженияВычислим значение выражения Найдём значение выражения, записанного с помощью букв, выполнив числовые подстановки.

Подставим в выражение вместо букв a и c их числовые значения, получим:Дополнительный материалПроведём несложные исследования, связанные со свойствами произведения нескольких рациональных чисел.Выясним, какое произведение больше.

РешениеРазбор заданий тренировочного модуля№ 1.

Разместите нужные подписи под изображениями.Сравните с нулём произведения?Варианты ответов: «больше нуля»«равно нулю»«меньше нуля»Для ответа на вопрос задания посчитаем количество отрицательных множителей, также вспомним свойство нуля при умножении.Правильный ответ№ 2. Вставьте в текст нужные слова.Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к … числу … сумму … и третьего чисел.Варианты слов для вставки: второгопервомуприбавитьвычестьумножитьтретьегоДля ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу урока.Правильный ответЧтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

интернет проект BeginnerSchool.ru

Ранее мы говорили о .

Продолжим изучение математических законов и сегодня поговорим о следующем:

  • о переместительном законе сложения;
  • о сочетательном законе сложения;
  • о переместительном законе умножения;
  • о сочетательном законе умножения;
  • о распределительном законе.

У Маши 3 яблока, а у Миши 4. Сколько яблок у детей? Для решения этой задачи надо вместе 3 Машиных яблока и 4 Мишиных: 3 + 4 = 7 Ответ: У детей 7 яблок.

А изменится ли ответ если яблоки складывать в другом порядке, то есть к 4 Мишиным прибавить 3 Машиных яблока?

4 + 3 = 7 Мы убедились, что не важно, в каком порядке складывать числа (слагаемые).

Результат (сумма) будет одинаковым: 3 + 4 = 4 + 3 = 7 Это и есть переместительный закон сложения, он звучит так: От перемены мест слагаемых сумма не меняется. В двух коробках лежат фломастеры по 80 штук в каждой.

В одну коробку положили ещё 23 фломастера. Сколько всего стало фломастеров? Эту задачу можно решить следующим образом: (80 + 23) + 80 = 183 или так: 80 + (80 + 23) = 183 Результат получается один и тот же: (80 + 23) + 80 = 80 + (80 + 23) = 183 Отсюда следует важное правило вычислений: Складывая несколько слагаемых, можно группировать их в любом порядке.

Катя купила 5 булочек по 20 рублей, а Коля 20 булочек по 5 рублей. Кто заплатил больше денег? Итак, вычислим, сколько заплатила Катя: 5 × 20 = 100 Теперь вычислим, сколько заплатил Коля: 20 × 5 = 100 Мы видим, что результат одинаковый.

Катя и Коля заплатили одинаковые суммы. В результате решения этой задачи мы убедились, что не важно, в каком порядке перемножать числа (множители), результат (произведение) получится один и тот же: 5 × 20 = 20 × 5 = 100 Это и есть переместительный закон умножения, он звучит так: От перемены мест множителей произведение не меняется.

В упаковке 6 пакетов сока. В контейнер входит 10 таких упаковок. Сколько пакетов сока входит в 5 таких контейнеров. Решим эту задачу, вычислим, сколько пакетов сока в контейнере, а затем в 5 контейнерах: (6 × 10) × 5 = 300 Можно вычислить сначала, сколько упаковок в 5 контейнерах, а затем, сколько всего пакетов сока: 6 × (10 × 5) = 300 Как бы мы не считали, получаем одинаковый результат: (6 × 10) × 5 = 6 × (10 × 5) = 300 Таким образом, мы убедились в справедливости сочетательного закона умножения: Перемножая множители, можно их группировать в любом порядке.

Вспомним, как можно вычислить прямоугольника, длина которого 28 , а ширина 16 дм. Попробуем это сделать разными способами. Итак, мы знаем, что для вычисления периметра прямоугольника, надо сложить длины всех его сторон: 28 + 28 + 16 + 16 = 88 Учитывая то, что в прямоугольнике 2 длины и 2 ширины можно вычислить периметр следующим способом: 28 × 2 + 16 × 2 = 88 Но ведь можно сложить длину и ширину и умножить на 2: ( 28 + 16) × 2 Таким образом, мы убедились, что можно сначала сложить длину и ширину, а затем умножить на 2, или сначала удвоить длину и ширину, а затем их сложить: ( 28 + 16) × 2 = 28 × 2 + 16 × 2 = 88 Решая нашу задачу, мы доказали справедливость распределительного закона: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и потом сложить полученные произведения.

Решим ещё один пример: (7 + 3) × 4 Значение данного выражения можно найти разными способами: Выполнив действия по порядку: (7 + 3) × 4 = 10 × 4 = 40 Или применив правило умножения суммы на число: (7 + 3) × 4 = 7 × 4 + 3 × 4 = 28 + 12 = 40 В результате разных способов вычисления, мы получили одинаковый результат.

Спасибо, что Вы с нами. Похожие статьи:

  1. Мы все знаем, что учить таблицу умножения необходимо. А необходимо.
  2. В этой статье мы разберемся, как вычислить площадь фигуры. Сравнить.
  3. Сегодня у нас речь пойдет о том, как вычислить периметр.
  4. Продолжим учить таблицу умножения. Это третий урок цикла “Как выучить.

Основные свойства сложения и умножения

Основные законы сложения 1. Переместительный закон Сумма не меняется от перестановки её слагаемых: a + b = b + a.

2. Сочетательный закон Сумма не зависит от группировки её слагаемых: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c 3. Свойство нуля Сумма нуля и любого числа равна этому числу: 0 + a = a 4. Свойство противоположных чисел Сумма противоположных чисел равна нулю: a + (-a)=0 Основные законы умножения 1.

Переместительный закон Произведение не меняется от перестановки его сомножителей: ab = ba. 2. Сочетательный закон Произведение не зависит от группировки его сомножителей: (ab)c = a(bc) = abc 3.

Распределительный закон Произведение числа и суммы равно сумме произведений числа на слагаемые суммы: $$a(b +c )= ab + ac$$ 4.

Свойство единицы Произведение единицы и любого числа равно этому числу: $1 \cdot a = a$ 5. Свойство нуля Произведение нуля и любого числа равно нулю: $0 \cdot a = 0$ 6.

Свойство обратных чисел Произведение обратных чисел равно единице: $a \cdot a \frac 1a = 1 (a \neq 0)$ Применение переместительных и сочетательных законов сложения и умножения к числовым выражениям значительно облегчает вычисления. Пример 1. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений $(3\frac {17}{25} + 4\frac {7}{9}) + (2\frac {8}{25} — 1\frac {4}{9}) + \frac 23 \cdot 0,2 \cdot 0,8 \cdot 5 \cdot 1,25 =$ $= (3\frac {17}{25} + 2\frac {8}{25}) + (4\frac {7}{9} — 1\frac {4}{9}) + \frac 23 \cdot (0,2 \cdot 0,5) \cdot (0,8 \cdot 1,25) =$ $= (3 + 2 \frac {17 + 8}{25} + 4 — 1) + \frac {7-4}{9} + \frac 23 \cdot 1 \cdot 1 = 9 + (\frac 13 + \frac 23) = 10$ Ответ: 10 Пример 2. Вычислите удобным способом: $(74,7 \cdot \frac {2}{21} + (-105,3) \cdot 2 \frac 37 — (-105,3) \cdot \frac {2}{21} — 2 \frac {3}{7} \cdot 74,7) : 10 =$ $( \frac {2}{21} (74,7 + 105,3) — 2 \frac 37 (105,3 + 74,7)) : 10 = ( \frac {2}{21} — 2 \frac 37 ) \cdot (74 + 105 + 1) : 10 = $ $( \frac {2}{21} — \frac {9}{21} — 2) \cdot (180 : 10) = \frac {-7 — 42}{21} \cdot 18 = \frac {-49}{7} \cdot 6 = -7 \cdot 6 = 42$ Ответ: 42 Применение законов сложения и умножения к выражениям с переменными также даёт возможность их упростить, прежде всего, с помощью приведения подобных слагаемых.

Подобные слагаемые – это слагаемые в выражении с переменными, имеющие одинаковую буквенную часть (любое буквенное выражение); числа без буквенной части также считаются подобными слагаемыми. Заметим, что в выражении 3ab+2ba слагаемые подобны, т.к. 2ba=2ab по переместительному закону умножения.

Поэтому 3ab+2ba=3ab+2ab=(3+2)ab=5ab.

Получаем следующий алгоритм. Алгоритм приведения подобных слагаемых 1. Провести перестановку слагаемых так, чтобы подобные слагаемые оказались рядом, сгруппировать их с помощью скобок.

2. Вынести за скобки буквенную часть подобных слагаемых. 3. Вычислить значение числового выражения в скобках. Это – новый числовой коэффициент.

4. Заменить подобные слагаемые в выражении полученным результатом. Пример 3. Упростите выражение: $3(a + 4b — 1) — 4(2a — b + 4) + a = 3a + 3 \cdot 4b — 3 — 4 \cdot 2a + 4b — 16 + a=$ $= (3a — 8a + a) + (12b + 4b) — (3 + 16) = (3 — 8 + 1)a + (12 + 4)b — 19=$ $= -4a + 16b — 19$ Пример 4. Упростите выражение и найдите его числовое значение, если x=8: $2x(x — 4) + 4(18 — x^2 ) + x(2x — 1)=2x^2 — 8x + 72 — 4x^2 + 2x^2 — x=$ $=(2 — 4 + 2)x^2 + (-8 — 1)x + 72 = -9x + 72$ При x=8 получаем: -9∙8+72=0 Ответ: 0

Законы математики

Число 2 подставится вместо а, число 3 место b Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.

Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений. Рассмотрим сумму из трёх слагаемых: 2 + 3 + 5 Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь: 2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 10 = 10 Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных: (a + b) + c = a + (b + c) Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

5 × 2 = 10 2 × 5 = 10 В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению: 5 × 2 = 2 × 5 10 = 10 Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных: a × b = b × a Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y.

Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом: x × y = y × x Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.